アーランB式の計算

本日の内容

1. 表計算での計算
2. ニュートン法
3. アーランB式の定義域の実数への拡張
4. 今後の展開
5. 参考文献

このドキュメントは http://edu.net.c.dendai.ac.jp/ 上で公開されています。

1. 表計算での計算

アーランB式は次式により与えられます。

E_{s} (a) = \frac{\frac{a^{s}}{s!}}{\sum_{i = 0}^{s} \frac{a^{i}}{i!}}

この式に対して、漸化式を求めると次のようになります。

E_{s} (a) = \frac{a E_{s - 1} (a)}{s + a E_{s - 1} (a)}

この式を元に、表計算ソフトで計算します。表のレイアウトは以下の通りです。

	A	B	C	D
1	a	呼量1	呼量2	呼量3
2	s	E
3	0	1	1	1
4	1	下記の式を入れる	式のコピー	式のコピー
5	2	式のコピー	式のコピー	式のコピー

式: =B$1*B3/($A4+B$1*B3)

2. ニュートン法

負荷曲線とは呼損率を与えた時の a と s の関係をグラフで表したものです。これを求めるには、呼損率 B を固定した時、 $E_{s} (a) = B$ を満す s と a の組を求める必要があります。つまり各 a を与えた時、 $f (s) = E_{s} (a) - B$ の零点となる s を求める必要があります。

アーランB式では解析的には解けないので、ニュートン法を用いることを考えます。

ニュートン法は関数 $f (x)$ の 0 点を繰り返し計算で求める方法です。初期値 x₀ に対して、関数 $f (x)$ の x₀ における接線は次により得られます。

y - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0})

この零点を新しいパラメータ x₁ とし、順に x₂, x₃ と値を更新して行くと、どんどん、元の曲線の 0 点に収束して行くと言う方法です。つまり漸化式で書くと次のようになります。

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}

これの階差が求めたい解の精度に達したら計算を終了します。

つまり、ニュートン法を使うと関数の値と微分係数が求まれば零点が求まります。但し、各 x_i は整数ではなく実数の範囲となるので、実数の範囲で関数の値などを求めなければなりません。

3. アーランB式の定義域の実数への拡張

単なる階乗の定義域を実数に拡張するにはガンマ関数を使います。これは $Γ (a + 1) = a Γ (a)$ , $Γ (1) = 1$ を満たす実数上の関数です。

これは、次の式で求まります。

Γ (a) = \int_{0}^{∞} t^{a - 1} e^{- t} ⅆ t

これは以下の関係が成り立つからです。

(t^{a} e^{- t})' = a t^{a - 1} e^{- t} - t^{a} e^{- t} (*)

{[t^{a} e^{- t}]}_{0}^{∞} = a \int_{0}^{∞} t^{a - 1} e^{- t} ⅆ t - \int_{0}^{∞} t^{a} e^{- t} ⅆ t

0 = a Γ (a) - Γ (a + 1)

このガンマ関数は n が自然数ならば $Γ (n + 1) = n!$ が成り立ちます。

なお、このガンマ関数の積分を途中で区切り、途中の x までの値と、 x 以降の値に分割したものをそれぞれ第一不完全ガンマ関数 $γ (a, x)$ 、第二不完全ガンマ関数 $Γ (a, x)$ と呼びます。式にすると次のようになります。

γ (a, x) = \int_{0}^{x} t^{a - 1} e^{- t} ⅆ t

Γ (a, x) = \int_{x}^{∞} t^{a - 1} e^{- t} ⅆ t

特に第二不完全ガンマ関数は(*)より以下が導けます。

{[t^{a} e^{- t}]}_{x}^{∞} = a \int_{x}^{∞} t^{a - 1} e^{- t} ⅆ t - \int_{x}^{∞} t^{a} e^{- t} ⅆ t

- x^{a} e^{- x} = a Γ (a, x) - Γ (a + 1, x)

得られた漸化式を解くと以下が得られます。

Γ (a + 1, x) = a Γ (a, x) + x^{a} e^{- x}

= a ((a - 1) Γ (a - 1, x) + x^{a - 1} e^{- x}) + x^{a} e^{- x}

= a ((a - 1) ((a - 2) Γ (a - 2, x) + x^{a - 2} e^{- x}) + x^{a - 1} e^{- x}) + x^{a} e^{- x}

= a! Γ (1, x) + x^{a} e^{- x} + a x^{a - 1} e^{- x} + a (a - 1) x^{a - 2} e^{- x} + ... + a! x e^{- x}

= a! \int_{x}^{∞} t^{0} e^{- t} ⅆ t + \sum_{i = 1}^{a} \frac{a! x^{i} e^{- x}}{i!}

= a! e^{- x} \sum_{i = 0}^{a} \frac{x^{i}}{i!}

これとアーランB式を比較すると次の式が得られます。

E_{s} (a) = \frac{a^{s} e^{- a}}{Γ (s + 1, a)}

4. 今後の展開

微係数を求めずに、表計算ソフトに付属の gammaln, gammadist などの関数で工夫して求められないか検討中。

5. 参考文献

Wikipedia などガンマ関数関連のページ

坂本直志 <sakamoto@c.dendai.ac.jp>
東京電機大学工学部情報通信工学科