第 3 回 ノンパラメトリック検定、第3回課題

本日の内容

• 3-1. 確率(2)
• 3-2. ノンパラメトリック検定

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3-1. 確率(2)

ポアソン分布

$t$時間内に$k$回 独立に事象が起きる確率 を $p_{t,k}$ とし、微小時間 $\Delta t$ に $\Delta t\lambda$ の確率で事象が起きるとする。 このとき、次の式が成り立つとする。

このとき、 次が成り立つことを示す

1. $\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{p_{t+\Delta t,0}-p_{t,0}}{\Delta t}=-\lambda p_{t,0}$
   $\frac{d{p}_{t,0}}{p_{t,0}}=-\lambda dt$
   $p_{0,0}=1$ より、
   $p_{t,0}={\mathrm{e}}^{-\lambda t}$
   これは $k=0$ のときの式を満たす。
2. $\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{p_{t+\Delta t,k+1}-p_{t,k+1}}{\Delta t}=-\lambda p_{t,k+1}+\lambda p_{t,k}$
   $\frac{d{p}_{t,k+1}}{dt}+\lambda p_{t,k+1}=\lambda \frac{{(\lambda t)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$
   $\frac{d}{dt}\left({\mathrm{e}}^{\lambda t}{p}_{t,k+1}\right)=\frac{{\lambda }^{k+1}}{k!}{t}^k$
   $p_{t,k+1}=\frac{{\lambda }^{k+1}}{(k+1)!}{t}^{k+1}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$

ここで、$t=1$を代入したもの $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$ を ポアソン分布と呼ぶ。

指数関数のマクローリン展開 ${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^0+\frac{1}{1!}{x}^1+\frac{1}{2!}{x}^2+...=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{x}^k$ を使うと

なお、中心極限定理より、平均 $\lambda$ のポア ソン分布 $\mathrm{Po}\left(\lambda \right)$ は $N(\lambda ,\lambda )$ に近似できる

${\chi }^2$分布

$X_i$を互いに独立な $N(0,1)$ に従う確率変数とする。

このとき、 ${\chi }_k^2=\sum _{i=1}^k{X}_i^2$ の確率分布を求める。 確率母関数を考えると

定理

$X_i$を互いに独立な $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。 $\bar{X}$ を標本平均とする。 ここで、 $Y=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2$ は自由度 $n-1$ のχ²分布に従う。

(証明)

3-2. ノンパラメトリック検定

統計的仮説検定とは

統計的仮説検定とは、ある母集団に対する仮説を立てて、その仮説の有効 性を、標本値を元に確率で判断する。 仮説としては、帰無仮説と呼ばれる、可能性の低そうな仮説 を立て、標本値からその仮説の成立する確率を計算し、十分低い確率であ る場合、 その帰無仮説を棄却するというものである。 このとき、棄却するための確率を有意水準と呼ぶ。 通常は、5%や 1% などの値を選ぶ。

${\chi }^2$検定

事象が $k$種類に分類されるとして、 それぞれが $O_1$,..., $O_k$ だったとする。 全事象の数が $N$ 個だったとすると、 $O_k=N-O_1-...-O_{k-1}$ となる。 各 $i$番目の観測値に対する期待値を $E_i$ で表すとき、 $O_i$ が $\mathrm{Po}\left(E_i\right)$ に従うと仮定して、分布のズレを考える。 ズレを正規化するため、 $\mathrm{Po}\left(E_i\right)$ を正規化するため、 ズレの分布を正規分布 $N(0,1)$ に近似し、その2乗和を考える。 つまり、 ${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{{(O_i-E_i)}^2}{E_i}$ を考える。 このとき、 帰無仮説を「ズレは正常の範囲内」とするとき、 χ²分布の確率密度関数 $F(x\le X)$ について、 有意水準を αとすると、 $F(x\le {\chi }^2)>1-\alpha$ であれば、帰無仮説は棄却される。

課題1

ある学校で、生徒たちが好きなスポーツに関する調査を行いました。スポーツ は1つだけ選ばせています（野球、サッカー、バスケットボール）。また、 生徒たちの性別（男性・女性）も記録しています。以下は、200人の生徒 のデータです。このデータを基に、性別とスポーツの好みに有意な関連が あるかを 有意水準5％で検定しなさい。

課題2

あるサイコロが公平かどうかを調べるために、600回のサイコロ投げを行っ た。その結果は次の通りであった。サイコロが公平であるかどうかを有意 水準5%で検定しなさい。