量子力学

我々のコンピュータの理論は、最終的には実際のコンピュータと関連しなければなりません。そのためには、物理的に動作するコンピュータの計算を考えなければなりません。

現代の物理学では力学は相対論的量子力学によるとされています。そのため、コンピュータもそれを原理とした動作を前提としなければなりません。しかし、相対論的量子力学は日常的にはニュートン力学などの古典論で近似されます。そのため、現代コンピュータは半導体を使用してはいますが、基本的な計算原理は古典的な電磁気学などに基づいています。そして、現代コンピュータの動作速度はムーアの法則に従えず、徐々に限界へと近づいています。

ファインマンが提唱し、ドイチェが形式化した量子コンピュータは、量子力学に基づいたコンピュータです。そして、ショーアにより、素因数分解を行う高速なアルゴリズムと、グルーバーによる選択問題の高速なアルゴリズムが開発されたことにより、現在に至るまで、量子コンピュータの実現の研究が盛んに行われています。

1. 量子力学

概要

古典力学は原子レベルの微細な現象を説明できず破綻することが分かり、微細な現象を説明できる力学が必要となりました。そこで登場したのが量子力学です。しかし、従来の力学とは大きく異なるため、本質を理解するのはなかなか難しいです。さらに、物質の本質的な状態は正確に測定できない（不確定性原理）という性質があります。これは、従来の物理の根底にある、この世のものは目で見えたように存在するという素朴実在論という哲学をひっくり返しました。さらに、量子力学では仮定している本質を知る術がないという性質から、正当性を証明することを不可能にしています。但し、様々な実験結果を良く説明する理論の中ではもっともシンプルな理論であるため、支持されています。

なお、ヒルベルト空間とは完備な内積空間のことです。列ベクトル

|ψ⟩

に対して、エルミート転置行ベクトルを

{|ψ⟩}^{†} = ⟨ψ|

と書きます。そして、

⟨ψ|

|ψ'⟩

の内積を

⟨ψ | ψ'⟩

で表します。自己共役演算子とは複素ヒルベルト空間

H

の関数

h : H \to H

が

⟨h ψ | ψ'⟩ = ⟨ψ | h ψ'⟩

を満たすことです。例えば、転置複素行列が元の行列と等しい、エルミート行列は自己共役演算子になります。自己共役演算子の固有値はすべて実数になりますので、量子力学の枠組みでの観測値はすべて実数です。

ユニタリ行列Uとは

U U^{†} = \hat{1}

を満たす行列のことである。

さらに、列ベクトル

|ψ⟩

から作った行列

|ψ⟩ ⟨ψ|

は自己共役演算子になります。この自己共役演算子は

|ψ⟩

に平行な成分を取り出すため、

|ψ⟩

への射影演算子と呼ばれます。

なお、固有ベクトルは、相互に長さ1で直交するように正規化するものとする。

さらに、任意の自己共役演算子のすべての固有ベクトルを集めると、そのヒルベルト空間の任意のベクトルを線形結合で表せるという完全系をなすことが知られている。状態

ψ

に対して固有ベクトル

a

ごとの係数を返す関数(波動関数)

ψ (a) \in C

を仮定すると、状態ベクトルを次のように表現できる。

さらに、各固有ベクトル同士は直交するように選んでいるので、以下が導かれる。

⟨a| ψ⟩ = \sum_{a} ψ (a) ⟨a| a⟩ = ψ (a)

|ψ⟩ = \sum_{a} ⟨a| ψ⟩ |a⟩ = \sum_{a} |a⟩ ⟨a| |ψ⟩

\sum_{a} |a⟩ ⟨a| = \hat{1}

固有値 a に対応する固有ベクトルから得られる射影演算子の和を

\hat{P} (a)

で表す。

これを用いると、状態 ψ に対して a が観測される確率は次で表される。

古典論の破綻

熱源から放射される電磁波のスペクトル分布がプランクの法則で説明されることが分かりました(1900年)。この式の導出をするには、電磁気学や熱力学的な考察だけからは導けず、エネルギーは振動数に比例する単位の整数倍となることがわかってきました。

さらに、アインシュタインは電磁波は光子という粒子からできていて、エネルギーの最小単位に振動数を掛けたもの

E = h ν

になっているという仮説を提案しました(1905)。

原子の構造が、原子核と電子からなるものと分かって来たとき（長岡半太郎ほか 1904年前後）、原子の大きさが定まらないことや、電子が粒子としたときに、軌道が存在することや、さらに、軌道に止まることが古典論では何も説明できないことが分かって来ました。

さらにシュテルン・ゲルラッハ(Stern–Gerlach)の実験が行われました（1922年）。これは、銀の蒸気を不均一な磁界の中に通す実験です。銀の原子番号は47で、電子の配置は (1s)² (2s)² (2p)⁶ (3s)² (3p)⁶ (3d)¹⁰ (4s)² (4p)⁶ (4d)¹⁰ (5s)¹となり、最外殻の電子以外は、電子の磁気モーメントを互いに打ち消すようにできますが、最外殻の電子だけは磁気モーメントを打ち消せません。銀の蒸気は電気的に中性なので、ローレンツ力による影響は受けません。しかし、それでも銀の粒子に磁気モーメントがあれば、不均一な磁界においては磁気の不均一さによる影響を受けるはずです。磁気に偏りがある粒子であれば、磁気の強い側から受ける力が弱い側から受ける力を上回るため、粒子の運動が影響を受けることになります。つまり、この実験は銀の粒子の磁気モーメントを計測する実験となります。そして、実際に磁気モーメントの影響を調べたところ、一定の分布ではなく、たった 2種類に均等に分類されました。後に、ナトリウム、水素でも測定しましたが、同じ結果が得られました。これは、電子は2種類だけの磁気モーメントを等確率で持つことを示しています。

後に、平行な二本のスリットに電子を一個ずつ発射すると、スリットの後ろに干渉縞ができる実験が行われました（1961年）。

また、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは一つの素粒子から生まれた二つの粒子を遠隔で観測した場合、（例えば、磁気モーメントの無い粒子から二つの電子が生まれた場合、二つの磁気モーメントは互いに逆になっているなどの）相関関係が生じるには観測の因果が光速を越えなければならないことを指摘しました(EPR パラドックス 1935年)。しかし、ベル不等式という、古典論で仮定される局所実在論という目の前の物体はそのまま存在し、遠隔の物体とは因果律を越えないことを仮定することで得られる不等式が破られることも実験で分かりました。そのため、EPRパラドックスは実際に観測されるため、EPR相関などと呼ばれるようになりました。

量子論の基礎

シュテルン・ゲルラッハの実験により、電子に磁気モーメントがあることが分かりました。そして、そこから、電子に2種類の回転モーメントがあることが分かりました。これを電子のスピンと呼び、 +1, -1 や +1/2, -1/2　や +, - などと表します。ここではこの電子のスピンに話を絞って進めます。

2現象なので、観測する固有値は2つだけ、つまり、2次元の状態ベクトルを観測した結果だとします。

つまり、電子の磁気モーメント内部状態を二次元複素数ベクトル空間の長さ1の列ベクトル

|ψ⟩ = (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})

ξ^{*} ξ + η^{*} η = 1

で表します。

これを観測して、 +1, -1 が得られるような自己共役演算子

\hat{A} = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

を求めます。つまり、これが二つの固有値 +1 と -1 を持つ条件を求めます。

\hat{A}

が固有値qを持つ場合、固有ベクトルpを用いると、次のように書けます。

これで、 qは +1 と -1 、また

\hat{A}

はエルミート行列ですから、 a, dは実数,

b = c^{*}

ですが、さらに次が得られます。

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & -ⅈ \\ ⅈ & 0 \end{matrix})

σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix})

パウリの行列には様々な性質があります。例えば、これに単位行列を加えると、あらゆるエルミート行列がパウリ行列の実数倍の和で表されるなどです。

パウリ行列のそれぞれに対して、長さ 1 の固有ベクトルを求めると次の様になります。

σ_{x} の固有ベクトル = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ \pm 1 \end{matrix}) = |\pm_{x}⟩ とおく

σ_{y} の固有ベクトル = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ \pm ⅈ \end{matrix}) = |\pm_{y}⟩ とおく

σ_{z} の固有ベクトル = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = |\pm_{z}⟩ とおく

|ψ⟩ = (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})

を σ _x で観測すると、 +1, -1 が観測される確率はそれぞれ

\Pr ({+1}_{x}) = {|⟨+_{x} | ψ⟩|}^{2} = {|({\frac{1}{\sqrt{2}}}^{*}  {\frac{1}{\sqrt{2}}}^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|\frac{1}{\sqrt{2}} (ξ + η)|}^{2} = \frac{1}{2} (ξ^{*} + η^{*}) (ξ + η) = \frac{1}{2} (ξ^{*} ξ + η^{*} η + ξ^{*} η + ξ η^{*}) = \frac{1}{2} (1 + ξ^{*} η + ξ η^{*})

\Pr ({-1}_{x}) = {|⟨-_{x} | ψ⟩|}^{2} = {|({\frac{1}{\sqrt{2}}}^{*}  {\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|\frac{1}{\sqrt{2}} (ξ - η)|}^{2} = \frac{1}{2} (ξ^{*} - η^{*}) (ξ - η) = \frac{1}{2} (ξ^{*} ξ + η^{*} η - ξ^{*} η - ξ η^{*}) = \frac{1}{2} (1 - ξ^{*} η - ξ η^{*})

|ψ⟩ = (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})

を σ _y で観測すると、 +1, -1 が観測される確率はそれぞれ

\Pr ({+1}_{y}) = {|⟨+_{y} | ψ⟩|}^{2} = {|({\frac{1}{\sqrt{2}}}^{*}  {\frac{ⅈ}{\sqrt{2}}}^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|\frac{1}{\sqrt{2}} (ξ - η ⅈ)|}^{2} = \frac{1}{2} (ξ^{*} + η^{*} ⅈ) (ξ - η ⅈ) = \frac{1}{2} (ξ^{*} ξ + η^{*} η - ξ^{*} η ⅈ + ξ η^{*} ⅈ) = \frac{1}{2} (1 - ξ^{*} η ⅈ + ξ η^{*} ⅈ)

\Pr ({-1}_{y}) = {|⟨-_{y} | ψ⟩|}^{2} = {|({\frac{1}{\sqrt{2}}}^{*}  {\frac{-ⅈ}{\sqrt{2}}}^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|\frac{1}{\sqrt{2}} (ξ + η ⅈ)|}^{2} = \frac{1}{2} (ξ^{*} - η^{*} ⅈ) (ξ + η ⅈ) = \frac{1}{2} (ξ^{*} ξ + η^{*} η + ξ^{*} η ⅈ - ξ η^{*} ⅈ) = \frac{1}{2} (1 + ξ^{*} η ⅈ - ξ η^{*} ⅈ)

|ψ⟩ = (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})

を σ _z で観測すると、 +1, -1 が観測される確率はそれぞれ

\Pr ({+1}_{z}) = {|⟨+_{z} | ψ⟩|}^{2} = {|(1^{*}  0^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|ξ|}^{2}

\Pr ({-1}_{z}) = {|⟨-_{z} | ψ⟩|}^{2} = {|(0^{*}  1^{*}) (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix})|}^{2} = {|η|}^{2}

重ね合わせ

|ψ_{1}⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

|ψ_{2}⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

|ψ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |ψ_{1}⟩ + \frac{ⅈ}{\sqrt{2}} |ψ_{2}⟩

を

σ_{y}

で観測することを考える。それぞれ、 + か - が観測されるが、これは、それぞれの状態が+の状態と -の状態の重ね合わせになっていると考えられる。

σ_{y}

の固有ベクトルは、

|+_{y}⟩ = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{ⅈ}{\sqrt{2}} \end{matrix})

|-_{y}⟩ = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-ⅈ}{\sqrt{2}} \end{matrix})

より、各状態は以下のように固有ベクトルの線形結合で書ける。

|ψ_{1}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |+_{y}⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} |-_{y}⟩

|ψ_{2}⟩ = \frac{-ⅈ}{\sqrt{2}} |+_{y}⟩ + \frac{ⅈ}{\sqrt{2}} |-_{y}⟩

|ψ⟩ = 1 |+_{y}⟩ + 0 |-_{y}⟩

観測確率は、観測値である固有値に対応する固有ベクトルの係数の和の二乗になるので、それぞれ以下のようになる。

このように、同じ確率が現象が観測される二つの状態の重ね合わせで、干渉により一つの現象が確率されないことが起こりうる。

|ψ⟩ = c_{1} |ψ_{1}⟩ + c_{1} |ψ_{2}⟩

に対して、 a が観測される確率を求めると、次のように、単純な足し算ではなく、干渉項が現れるのが分かる。

\Pr_{ψ} (a) = ⟨ψ| \hat{P} (a)| ψ⟩ = ⟨c_{1} ψ_{1} + c_{2} ψ_{2}| \hat{P} (a)| c_{1} ψ_{1} + c_{2} ψ_{2}⟩

= {c_{1}}^{*} c_{1} ⟨ψ_{1}| \hat{P} (a)| ψ_{1}⟩ + {c_{1}}^{*} c_{2} ⟨ψ_{1}| \hat{P} (a)| ψ_{2}⟩ + {c_{2}}^{*} c_{1} ⟨ψ_{2}| \hat{P} (a)| ψ_{1}⟩ + {c_{2}}^{*} c_{2} ⟨ψ_{2}| \hat{P} (a)| ψ_{2}⟩

= {|c_{1}|}^{2} \Pr_{ψ_{1}} (a) + {|c_{2}|}^{2} \Pr_{ψ_{2}} (a) + {c_{1}}^{*} c_{2} ⟨ψ_{1}| \hat{P} (a)| ψ_{2}⟩ + {c_{2}}^{*} c_{1} ⟨ψ_{2}| \hat{P} (a)| ψ_{1}⟩

ゆらぎ

状態

|ψ⟩

に対する物理量

A

とその平均値

⟨A⟩ = ⟨ψ| \hat{A}| ψ⟩

に対して、ばらつきを次のように定義する。

Δ A = A - ⟨A⟩

。分散と、標準偏差は次のように定義される。

⟨{(Δ A)}^{2}⟩

δ A = \sqrt{⟨{(Δ A)}^{2}⟩}

⟨ψ| {(Δ \hat{A})}^{2}| ψ⟩ = ⟨ψ| {(\hat{A} - ⟨A⟩ \hat{1})}^{2}| ψ⟩ = ⟨ψ| {\hat{A}}^{2} - 2 ⟨A⟩ \hat{A} + {⟨A⟩}^{2} \hat{1}| ψ⟩ = ⟨ψ| {\hat{A}}^{2}| ψ⟩ - 2 ⟨A⟩ ⟨ψ| \hat{A}| ψ⟩ + {⟨A⟩}^{2} \hat{1} = ⟨A^{2}⟩ - {⟨A⟩}^{2} = ⟨{(Δ A)}^{2}⟩ = {(δ A)}^{2}

不確定性原理

二つの演算子

\hat{A}

\hat{B}

に対して、交換子を次のように定義する。

ここで

[\hat{A}, \hat{B}] = ⅈ \hat{C}

と置くと、エルミート共役を取ることにより、以下のように

\hat{C}

は自己共役演算子になる。

{(ⅈ \hat{C})}^{†} = {([\hat{A}, \hat{B}])}^{†} = {(\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A})}^{†} = \hat{B} \hat{A} - \hat{A} \hat{B} = - ⅈ \hat{C}

不確定性原理

自己共役演算子

\hat{A}

\hat{B}

が、ある実定数 k に対して、

[\hat{A}, \hat{B}] = ⅈ k \hat{1}

となるとき、

導出

まず、

[Δ \hat{A}, Δ \hat{B}] = [\hat{A}, \hat{B}] = ⅈ k \hat{1}

を示す。

[Δ \hat{A}, Δ \hat{B}] = [\hat{A} - ⟨A⟩ \hat{1}, \hat{B} - ⟨B⟩ \hat{1}] = (\hat{A} - ⟨A⟩ \hat{1}) (\hat{B} - ⟨B⟩ \hat{1}) - (\hat{B} - ⟨B⟩ \hat{1}) (\hat{A} - ⟨A⟩ \hat{1}) = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}

さて、任意の実数 λ に対して、

Δ \hat{A} + ⅈ λ Δ \hat{B}

は自己共役演算子になります。したがって、任意の状態ベクトル

|ψ⟩

に対して、

(Δ \hat{A} + ⅈ λ Δ \hat{B}) |ψ⟩

のノルムは常に非負になります。つまり以下が任意の λ で成り立ちます。

この式を整理すると、以下のように λ に関する二次不等式が得られます。

⟨ψ| {(Δ \hat{A})}^{2}| ψ⟩ + ⅈ ⟨ψ| Δ \hat{A} Δ \hat{B} - Δ \hat{B} Δ \hat{A}| ψ⟩ λ + ⟨ψ| {(Δ \hat{B})}^{2}| ψ⟩ λ^{2} \geq 0

⟨ψ| {(Δ \hat{B})}^{2}| ψ⟩ λ^{2} - k λ + ⟨ψ| {(Δ \hat{A})}^{2}| ψ⟩ \geq 0

⟨ψ| {(Δ \hat{B})}^{2}| ψ⟩ \geq 0

より、この二次不等式が常に成立するのは判別式が非正の場合。つまり求める条件は以下の通り。

D = k^{2} - 4 ⟨ψ| {(Δ \hat{A})}^{2}| ψ⟩ ⟨ψ| {(Δ \hat{B})}^{2}| ψ⟩ \leq 0

⟨ψ| {(Δ \hat{A})}^{2}| ψ⟩ ⟨ψ| {(Δ \hat{B})}^{2}| ψ⟩ \geq \frac{k^{2}}{4}

時間発展

閉じた系において状態

|ψ_{t_{1}}⟩

から状態

|ψ_{t_{2}}⟩

に時間発展するとき、ユニタリ行列 Uにより、

|ψ_{t_{2}}⟩ = U |ψ_{t_{1}}⟩

となるとき、次のシュレディンガー方程式を導出できます。

$\Pr_{ψ_{1}} (+) = \frac{1}{2}$ ,	$\Pr_{ψ_{1}} (-) = \frac{1}{2}$
$\Pr_{ψ_{2}} (+) = \frac{1}{2}$ ,	$\Pr_{ψ_{2}} (-) = \frac{1}{2}$
$\Pr_{ψ} (+) = 1$ ,	$\Pr_{ψ} (-) = 0$

量子力学

本日の内容

1. 量子力学

概要

古典論の破綻

量子論の基礎

重ね合わせ

ゆらぎ

不確定性原理

不確定性原理

導出

時間発展